數位系統導論 - Binary System

#1.數位是什麼？而為什麼要數位？

先回答第一個問題，資料可以用兩種方法來表示，即是類比與數位，兩者最大的區別在於數值連不連續，其中類比是連續的，而數位是離散的。用一條1~5的數線來看，類比資料可以是其中任何一個點，比如1.3、0.1884251，但是數位資料可能只代表了整數點1,2,3,4,5，而在1跟2、2與3、3與4、4與5之間不容許其他任何值存在，只能透夠近似的方式把3.23之類的居中值分配給最接近的點。

而為何要數位呢？正如先前的例子，我們可以發現類比資料是無窮無盡的，比如1與2之間切半得1/2，再切1/4，可以這樣無窮的切下去，但是我們的硬體則是有限的，所以必須把類比資料數位化，方便電腦進行處理。

而多數的數位系統會用兩個離散值來表示狀態，比如

• 0 or 1
• True or False
• High or Low
• On or Off

#2.進位制表示法

2-1

一個N進位的數字1234.5678而言，可以寫作(1234.5678)_N
而他用十進位的值為：1*10³+2*10²+3*10¹+4*10⁰+5*10^-1+6*10^-2+7*10^-3+8*10^-4

十進位轉R進制：

• 整數部分：不斷除R，除完後取商繼續除，直到不能除為止，取餘數排列(除越多次者越高位)
• 小數部分：不斷乘R，乘完後取積繼續乘，直到小數化為整數，(乘最多次為最小小數位數)

2-2
二進位轉八進位：由右往左數，三個(2的三次=8)為一組
e.g. : 10101011 -> 10101011 ->  253
 
二進位轉八進位：由右往左數，四個(2的三次=16)為一組
e.g. : 10101011 -> 10101011 ->  AB

#3.

Signed Magnitude representation

• 第一位用來表示正負e.g. 000 = 0,101= -1
• 容易在運算在溢位

1's Complement representation

• 負數表示法：原值0與1互換
• e.g. 1011000 0100111
• 缺點是存在兩個0 (111與000)

• 1補數的減法 
• 所有的減法都透過與其補數相加達成
• e.g. a - b = a+(-b)
• 相加如果有在最高位元有進位，要將進位值補到最末位元
• 反之，沒有進位則代表真正答案為負，要再取一次原結果的一補數

2's Complement representation

• 表示法：取一補數再+1
• e.g.1011000 取一補數 0100111之後加一得 0101000

•  2補數的減法
• 所有的減法都透過與其補數相加達成
• e.g. a-b = a+(-b)
• 相加如果有在最高位元有進位，直接捨棄進位得答案
• 反之，沒有進位則代表真正答案為負，要再取一次原結果的二補數

---

1.Binary Code

• 每個bit可代表兩個情形(0&1)，則n bits代表了2^n種情形
• e.g. 10進位的數字0~9要區別可以使用4個位元(16種) 

Binary Code 表示法

• BCD 8421
• 2421
• Excess - 3 =BCD + 3
• 84 -2 -1
• 以上每個數字都代表著一個位元
• 比如數字4
• 8421 : 0100 = 8*0+4*1+2*0+1*0
• 2421 : 0100 = 2*0+4*1+2*0+1*0
• Excess -3 : 0111 : BCD+3 = 0100 + 3 = 0111
• 84-2-1: 0100 = 8*0+4*1+2*0+1*0

2.BCD

• 185 = (0001 1000 0101)BCD
• (a3,a2,a1,a0)BCD = 8a3+4a2+2a1+1a0
• BCD編碼並不是self-complementing code，這使得BCD雖然是最直覺的編碼方式，但在某些情形仍需要其他三種補足
• Self Compleementing

3.Gray Code

• 優勢：確保一次只有一個位元改變，使得充放電(可以想做0與1之間的轉換)較少也較省功耗

 設計數位系統必須考慮三樣要素：cost,speed,power，必須要在三者間求得平衡

4.ASCII Character Code

• American Standard Code for Information Interchange
• 運用7個組合表示128種字元

5.Unicode

• 2bytes

6.Error Detection/Correction Code

• 傳遞的過程可能發生Error
• 除了要偵測錯誤，還要把錯誤更正回來
• 使用方法 ： Even parity 與 Odd parity
• Even parity : 將原字元插入1，使其共有偶數個1
• 比如說 : 000插入0 （變為000-0，末位為parity），以維持0個（偶數個）1，001則要插入1，來維持2個（偶數個）1
• Odd parity :將原字元插入1，使其共有奇數個1
• 透過此法，能夠得知位元上的錯誤，比如說在傳送中將001-1誤傳為011-1，在Even parity的保護下，我們知道總共只能有偶數個1，從而得知傳送發生錯誤
• 但是，如果錯了很多個bits，parity bit就不太可行了

---

Binary Storage & Register

• Binary Cell

• 2 stable states,1-bit information(0 or1)

•  Register 暫存器

• 是一組binary cell
• 暫存需要處理或output的資料
• 暫存的資料可能有不同的編譯方式，例如01000001可能表示A or 65 or ......
• 其實暫存器就是由一堆邏輯閘構成的電路
• 暫存器是最快但容量最小的記憶體，位於最高的記憶體階層
• 依據暫存器的大小，可將處理器分為32bits與64bits