數位系統導論 - 布林代數

0.布林代數其實就是0與1的運算

1.三種布林代數的表示

• Boolean Algebra
• Truth table
• Circuit Diagram

2.普遍原則

• Closure
• e.g. 若x*y屬於集合S，則x,y也會屬於S
• Associative law
• a*b*c = a*c*b
• Commutative law
• 1+0 = 0+1, 1*0 = 0*1
• Identity elements
• + : 0+0 = 0 , 1+0=0 ,such that x+0 = x
• *  : 0*1 = 0 ,  1*1=1, such that x*1=x
• Distributive law
• x*(y+z) = x*y + x*z
• x + yz - (x+y)(x+z)
• DeMorgan's Theorem (德摩根定律)

• (x+y)' = x'y'
• (xy)' = x' + y'
• 廣泛用於電路最佳化（And與Or的轉換）
• e.g : x' + y' = (xy)' = NAND gate
• 可以用在SOP與POS之間的轉換

• Absorption
• xy + x = x (x+y) = x

3.運算子優先順序

• 括號 > NOT > AND > OR

4.邏輯閘

x與y為input

• And  : x*y
• Or : x + y
• Not : x = x'
• NAND : -> And ->Not
• NOR :  -> Or -> Not
• Exclusive - Or  (Xor) = xy' + x'y 相同input為0，不同input為1（互斥）
• Exclusive - Nor  = xy + x'y' 相同input為1，不同input為0

5.Positive logic and negative logic

• Postive logic : H =1, L=0
• Negative logic : H=0, L=1
• active high : 1的時候出現反應，為正邏輯
• active low : 0的時候出現反應，為負邏輯

6.Circuit

• Gate : 1個邏輯閘大概由2~14個電晶體構成
• Circuit : 由多組邏輯閘構成
•  A combination of interacting gates
• Integrated Circuit (IC)
• Chip 
• A silicon semiconductor crystal that contains the electronic components for constructing digital gates.
• Level
• SSI
• MSI
• LSI
• VLSI
• System : 放在一個PCB(印刷電路板)上，由很多組電路構成

7.Parameters for Digital Logic Families

由於不同的製作技術，在邏輯閘上以下的參數可能會有所不同

• Fan-Out
• 一個邏輯閘的Output到底能夠推動幾個邏輯閘正常運作
• 一個邏輯閘的輸出，最多能推動幾個輸入
• e.g. Fan-out = 2，Output就只能接兩個
• 假設1代表5V，如果接了3個，有可能一個Output只能達到2V
• 但是不影響原本的布林函數

• Fan - In
• 想做Fan-Out的反面

• Propagation delay (傳遞延遲)
• 邏輯閘是由電晶體構成，電晶體充放電都需要時間，所以會造成延遲
• 一個晶片裡，邏輯閘的數目有幾百萬～幾千萬個
• 即便一個邏輯閘的延遲只有幾奈秒，加總起來仍十分龐大
• 是用最慢產生的最終Output當成傳遞延遲
• 所以說，晶片的表現要好，整體模組的速度要差不多快

• 傳遞延遲跟光罩製作技術（e.g.微米，奈米）有關

• Noise Margin
• e.g. 1~0V之間判斷為0，4~5V之間會判斷為1

8.Computer Aided Design

• 現在的邏輯閘動輒上百萬，我們需要電腦輔助設計(CAD tool)
• EDA is specially used for IC design
• HDL (Hardware Deseription Language)
• 用來描述你電路的語言
• tool幫你compile之後會轉換(Logic synthesis)為邏輯閘(一個實體的電路)

• 電路實現的種類
• ASIC 
• 應用導向的積體電路
• 量身打造你設計出的電路
• FPGA ＆ CPLD
• 給你的是晶片，裏面cell都固定
• 我們可以自己把電路燒上去
• 只要電路沒有超過cell，都能應用上去 

9.NAND and NOR

• 其餘邏輯閘都能由NAND或NOR實做而成
• 為何使用?
• 因為NAND與NOR容易透過電晶體實做
• 因為NAND與NOR比起AND與OR有更低的傳遞延遲
• 電路上的轉換要則
• 1.2個Not = 0個Not，透過增加雙向的Not將AND或OR轉換
• NAND與NOR之間的轉換
• 用兩次迪摩根法則： x' + y' + z' = (xyz)'